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绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。
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四、会见忽必烈
李冶《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世具有深远的影响。
元代的王恂（1235—1281）、郭守敬（1231—1316），在编《授时历》
的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙克什用天元术解决水利工程中
的问题，收到了良好效果。
元代数学家朱世杰（公元13—14世纪）说：
“以天元演之，明源活法，省功数倍。”
清代阮元 （1764—1849）说：
“立天元者，自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”
李冶写成《测圆海镜》以后，到太原住了一个时期，藩府官员曾请他出
仕，但他谢绝了。后来，他又流落到平定。平定侯聂珪很尊重他，把他接到
自己的帅府来住。他却“私心眷眷于旧游之地”，怀念着少年求学时的元氏。
公元1251年，李冶的经济情况已经好转，他终于结束了在山西的避难生
活，回元氏定居。他在封龙山下买了一点田产，以维持生活，并开始收徒讲
学，从事数学教育活动。
李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下了，于是师生共同努力，在北
宋李昉 （925—996）读书堂故基上建起了封龙书院。
李冶在书院不仅讲数学，也讲文学和其他知识。他呕心沥血，培养出大
批人才，并常在工作之余与好友元好问、张德辉 （山西交城人）一起游封龙
山，被人们称“龙山三老”。
在蒙古军队攻金过程中，中原地区的社会经济遭到严重破坏。由于害怕
被占领地区人民的反抗，蒙古军每攻下一处，都实行残酷的屠杀，使大量人
民丧失了生命。如攻占保州（今河北保定）、密州（今山东诸城）、卫州（今
河南汲县）时，除工匠留下不杀外，其他人都一律杀死。此外，还大量掠夺
“驱口”，即奴隶。“掠者私其主”，实行谁掠夺来归谁有的政策。大军所
过，麦苗被践踏，耕牛被掠走，堤堰被捣毁。因为不知道农业生产的重要性，
有的人甚至主张尽杀汉人，改农田为牧场。如别迭等人就曾提出：“汉人无
补于国，可悉空其人以为牧地。”
蒙古军的上述暴行理所当然地激起了中原人民的反抗斗争，即所谓“河
朔盗起”，“河北群雄如牛毛”。有的起义军多达10万余人。在人民斗争的
打击下，蒙古贵族内部发生了分化，出现了主张依然如故的守旧派和要求改
变统治方式的革新派。蒙古族杰出的统治者忽必烈即属于后者。
忽必烈建元以前，蒙古汗国的政治中心一直在蒙古草原上的哈喇和林。
燕京被成吉思汗攻克以后，蒙古统治者把它当成控制华北、中原的重要据点。
蒙哥汗在位时，一方面派自己的亲信来燕京充当断事官，控制燕京。另一方
面又委任自己的兄弟忽必烈 （拖雷四子）去管理“漠南汉地军国庶事”，实
质上在华北、中原地区形成了两个互相控制的政治集团。忽必烈受命管理汉
地之事以后，把自己的营帐选在草原和汉地接壤的开平 （今内蒙古正蓝旗
东），既能与哈喇和林联系，又能控制漠南汉地。他把开平作为他的基地，
为夺取政权积极准备人才。
公元1257年，忽必烈召见金朝遗老窦默 （理学家）、姚枢（理学家）、
李俊民等多入，又派董文用 （金朝降将董俊之子），专程去请李冶，忽必烈
说：“素闻仁卿学优才瞻，潜德不耀，久欲一见，请勿他辞。”
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这年五月，李冶在开平会见了忽必烈。下面是忽必烈和李冶的问答：
问：河南（金）居官者孰贤？
答：险夷一节，唯完颜仲德（金宰相，蒙古军破蔡州，赴水殉国）。
问：完颜合答（金元帅左监军）及蒲瓦（移刺蒲阿，契丹人，金权枢密
副使，与完颜合答均败于三峰山，被杀）何如？
答：二人将略短少，任之不疑，此金所以亡也。
问：魏征（唐太宗时诤臣）、曹彬（北宋太祖时忠武军节度使，伐南唐）
何如？
答：征忠言谠论，知无不言，以唐诤臣观之，征为第一。彬伐江南，未
尝妄杀一人，拟之方叔（周宣王卿士，北伐 狁，南征荆楚，有功于周）、
召虎 （周宣王时的召穆公，出征淮夷）可也。汉之韩（韩信）、彭（彭越）、
卫 （卫青）、霍（霍去病），在所不论。
问：今之臣有如魏征者乎？
答：今以侧媚成风，欲求魏征之贤，实难其人。
问：今之人材贤否？
答：天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳。今儒生有如魏А�
（金尚书令史）、王鄂（金一甲一名状元）、李献卿（金进士，以文学著名）……
辈，皆有用之材，又皆贤王所尝聘问者，举而用之，何所不可，但恐用之不
尽耳。然四海之广，岂止此数子哉。王诚能旁求于外，将见集于明廷矣。
问：天下当何以治之？
答：夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。盖有法度则治，控名责
实则治，进君子退小人则治，如是而治天下，岂不易于反掌乎。无法度则乱，
有名无实则乱，进小人退君子则乱，如是而治天下，岂不难于登天乎。且为
治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，赏罚示
惩劝。今则大官小吏，下至编氓，皆自纵恣，以私害公，是无法度也，有功
者未必得赏，有罚者未必被罚，甚则有功者或反受辱，有罪者或反获宠，是
无法度也。法度废，纪纲坏，天下不变乱，已为幸矣。
问：昨地震何如？
答：天裂为阳不足，地震为阴有余。夫地道，阴也，阴太盛，则变常，
今之地震，或奸邪在侧，或女谒盛行，惑谗慝交至，或刑罚失中，或征伐骤
举，五者必有一于此矣。夫天之爱君，如爱其子，故示此以警之耳。苟能辨
奸邪，去女谒，屏谗慝，省刑罚，慎征伐，上当天心，下协人意，则可转咎
为休矣。
在忽必烈和李冶的问答中，李冶所答表明了他在三类问题上的态度：
第一，李冶的人才观：
“天下未尝乏材，求则得之，舍则失之，理势然耳”。
第二，李冶的政治见解：
“为治之道，不过立法度，正纪纲而已。纪纲者，上下相维持；法度者，
赏罚示惩劝”。
第三，李冶的政治建议：
“辨奸邪、去女谒、屏谗慝、减刑罚、慎征伐”。
李冶的这五条建议，虽然是他根据董仲舒的“天人感应”学说推导出来
的，在今人看来有些滑稽，但在当时的历史条件下，用这种学说比较容易打
动忽必烈这种向往汉化的蒙古族统治者，所以得到了忽必烈的赞赏。
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李冶在会见忽必烈之后，又回到了封龙山继续讲学著书。
李冶的《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容比较
深，粗知数学的人看不懂，而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以
天元术的传播速度较慢。
李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教学的同时，着手写
一部普及天元术的著作。
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五、 《益古演段》
北宋数学家蒋周写过一本《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方
法则是几何方法。
李冶读过蒋周的《益古集》，并用天元术对这本书进行了研究。
公元1259年，李冶的另一本数学著作——《益古演段》写成了。
《益古演段》全书共3卷，64题，处理的主要是平面图形的面积问题，
所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问
题，内容安排基本上是从易到难。从这个角度来分析，《益古演段》这本书，
可能是李冶在教学过程中为学生所写的教材。
李冶在完成了《测圆海镜》之后再来写《益古演段》，他对天元术的运
用自然会更加熟练，但是他在这本书中却没有像他在《测圆海镜》中那样，
完全用天元术来解题。书中新旧二术并用，新术是李冶的代数方法——天元
术；旧术仍然是蒋周的几何方法——条段法。条段法是一种图解的方法，因
为方程各项常用一段一段的条形面积表示，所以得名为条段法。这本书揭示
了天元术和条段法的联系和区别，对我们了解条段法向天元术的过渡，探讨
数学发展规律有重要的意义。书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验
证，这对于人们接受天元术是有好处的。这本书还图文并茂，深入浅出，不
仅有利于教学，也便于自学。
砚坚为李冶的 《益古演段》作了《序》，他在《序》中称赞这本书说：
“说之详，非若溟涬黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观”。
这些特点，使 《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术
的传播起了不小的作用。
李冶的《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》
有所不同，所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理
论“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含
方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程
困难得多。
李冶既然已经完善了天元术的程序，便力图提高他的一般化程度，用以
解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补的原理 （按照吴文俊的解
释，出入相补原理就是：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若
把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形
移置前后诸面积的和差有简单的相等关系”。）及等量关系来减少未知数，
化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量
就可根据与天元一的关系，很容易求出了。
例如第三十五问：
“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地5760步。只云从外田东南
楞至内池西北角，通斜113步，其内池阔不及长34步。问三事（指池长、池
阔及圆径）各多少？”
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这道题要求池长、池阔及圆径这三个数，如果用方程组去解，需要列出
三个方程，一个可能的列法是：
设圆径为x，直池长为Y，阔为Z，则
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设 y＝22。5x，则上式变为