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里面却觉得很是舒服。与李冶同时代的砚坚说他，世间的书只要是他看见的，
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没有他不研究的，甚至是“薄物细故”，从不遗漏。但是他认为，数学虽然
在六艺 （礼、乐、射、御、书、数）的最后一位，但是把它放在“人事”中
来看，却是最重要的学问，于是他把主要精力用于数学研究。
公元1248年，李冶的代数名著《测圆海镜》12卷写成了。
李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还
不成熟，就像一棵小树一样，需要有人精心培植。李冶就是用自己的辛勤劳
动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。
天元术是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”就是今天
的“设x为某某”。
在中国，列方程的思想可追溯到《九章算术》。
《九章算术》约成书于东汉前期。全书共分为9章，其中第8章《方程》，
用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。
到唐代，王孝通已能列出三次方程。
王孝通（公元6世纪下半叶—7世纪上半叶），出身于平民，少年起开
始学习天文、数学，终生研究，直至皓首。入唐，被起用为算学博士、太史
丞。撰注《缉古算术》是王孝通的最大贡献。
王孝通的《缉古算术》有4类内容：
第1类：即《缉古算术》的第1问，是天文学中的数学计算问题。
第2类：即第2—6及第8问，是土木工程中的土方问题。
这一类问题，王孝通是根据 《九章算术》第5章《商功》中的立体形求
体积法，昼思夜想，设计出来的。一方面是根据工根的条件计算其体积及长、
宽、高，另一方面要从已知的某一部分体积及某些参数计算其长、宽或高。
其问题之复杂超过以往任何算经，如第3问所筑堤防，由一堑与一羡除（隧
道）相叠形成，题设达290字。首先要由民工数及每人的工作量计算出堤防
的体积，进而由此体积及堤防的下底差、小头的上下底差、两头的高差，小
头的上底与高差及堤防长与小头高差求此堤防的两头高、上、下底及长。最
后，欲从小头起筑一定土方量的堤防、求此段的长。
第3类问题，即第7及第9—14问，是求各种形状的仓房、地窖或其一
段的高 （深）、广、径问题。
第4类问题：即第15—20问，是已知勾、股、弦三事二者之积或差，求
勾、股、弦问题。
这类勾股问题在中国数学史上是首次提出。
第2、3、4类问题大都归结为一个开带从立方即形如：
3 2
x＋Ax＋ Bx＝C（ A、 B、C均为正）的三次方程。有的勾股问题要归
结为形如：
4 2
x＋Bx=C的四次方程，通过两次开平方解决。
王孝通虽然已能列出三次方程，但他不懂天元术，完全用几何方法推导
方程，所以需要高度技巧，不易被一般人掌握。实际上，宋代以前的方程理
论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数通常是表示面积、体
积等几何量的；方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何
解释了。王孝通的四次方程，是通过两次开平方解决的。
经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了。
贾宪（公元11世纪上半叶），北宋仁宗时任左班殿直，是三班小使臣，
属武职。贾宪著书有两种，一为《黄帝九章算经细草》9卷，一为《算法学
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文古集》6卷。
贾宪改进了传统的开方法，创造了开方作法本源和增乘开方法，对中国
古代数学的算法理论作出了杰出贡献。
贾宪的第一个贡献是提出立成释锁法并创造开方作法本源。求二次及其
以上次数方程的正根，中国古代统称开方术。开方在宋元时又称为释锁。
贾宪提出的立成释锁法，如开平方的程序是：
作4行布算，依次是商 （根）、实（被开方数或常数项）、方法（一次
项系数）、下法（二次项系数，此处是1）。将下法自右向左隔一位移1步，
至实的首位而止；以商的第1位得数乘下法，置于方法，以上商乘方法，减
实；以2乘方法，退1步为廉，下法退2步，得出减根方程，再如法求第2
位得数。
贾宪的方法与现今方法无异。
立成是唐宋时期历算家列的算表。顾名思义，立成释锁法是利用一种算
表进行开方。这种算表便是开方作法本源，今称贾宪三角。
在欧洲，贾宪三角被称为帕斯卡三角，是法国数学家帕斯卡在17世纪初
创造的，比贾宪晚出600年左右。
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三、 《测圆海镜》
贾宪三角是将整次幂二项式系数
n
（a＋b） （n＝0， 1， 2，……）
自上而下排成一个三角形。
贾宪三角下面有五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆
廉”说明了它的结构，即积、隅、廉的位置；后二句“以廉乘商方，命实而
除之”，提示了积、隅、廉在立成释锁法中的应用。
显然，利用贾宪三角，当时人们已经把开方术从这之前只能开二次、三
次方推广到开任意高次方。
随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的
方法，天元术便应运而生了。但在李冶之前，天元术还比较幼稚，记号混乱，
演算烦琐。
李冶致力于创造一种简便的、适于各种问题的列方程方法。他认识到，
只有摆脱几何思维束缚，建立一套不依赖于具体问题的固定程序，才能实现
上述目的。
李冶总结出的列方程程序是：
首先立天元一，这相当于设x为未知数；然后寻找两个等值的而且至少
有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”化
成标准形式
n n…1
ax＋ax ＋…a=0
n n…1 0
李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作。
《测圆海镜》把勾股容圆（切圆）问题作为一个系统来研究，讨论了在
各种条件下用天元术求圆径的问题。
卷一的圆城图式是全书出发点，书中170题都和这一图式有关。
卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆
径的关系。
识别杂记共600余条，每条可看作一个定理 （或公式），其中最重要的
是下面10个圆径公式 （D表直径，r表半径，a，b，c表勾、股、弦）
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1
（1） D2
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2
合并同类项，得2x－340x＋ 12000= 0）。上下俱半之，得 （化简，
2
得x－170x＋6000＝0）。以平方开之，得一百二十步（解方程，得 x＝120）。
倍之即圆径也，合问 （所以D=2×120＝240）。
李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：
第一，改变了传统的把实（常数项）看作正数的观念，常数项可正可负，
而不再拘泥于它的几何意义。例如：卷六第四问所得方程为
2
…x－72x＋ 23040= 0，
第七问所得方程为
2
…x＋640x－96000= 0，
两题常数项的符号恰好相反。实际上，《测圆海镜》中方程各项的符号
均无限制，这是代数学的一个进步。
第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中 170题，有 19
题列出三次方程，13题列出四次方程，还有一题列出六次方程。在这里，未
知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。
第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整
式的方法化分式方程为整式方程。
第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子
n
x（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次
n
数。这一作法相当于用x去除方程各项。
李冶在《测圆海镜》中，采用了从0至9的完整数码。除0以外的9个
数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇0空位，没有符号0。李冶《测
圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用0的两本算书。
秦九韶（1202—1261），字道古，普州安岳（今四川安岳）人。公元1247
年9月，完成数学名著《数书九章》。
李冶的《测圆海镜》比秦九韶的《数书九章》成书的时间相差不过一年。
李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。
李冶的负号与现在不同。是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位
有效数字上，如…175记作 ，…360记作
在国外，德国人于15世纪才首先引入负号。
在李冶之前，小数记法离不开数名，如7。59875尺记作七尺五寸九分八
厘七毫五丝。
李冶则取消数名，完全用数码表示小数，纯小数于个处写0，带小数于
个位数下写步，如 0。25记作○＝｜｜｜｜｜， 5。76记作 这种记法在当
时算是最先进的。
西方在16世纪，小数记法还很笨拙。例如比利时数学家S·斯蒂文在1585
年发表的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如 27。847写作 278
①4②7③，这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪，英国数学家J·纳
普尔 （1550—1617）发明小数点后，小数才有了更好的记法。
李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号
表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号，尤其
是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代数的前
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身。大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也
有创新。全书本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定理、公
式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以
前的算术，一般采取问题集的形式，各章 （卷）内容大体上平列。李冶以演
绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。
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四、会见忽必烈
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