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年却证明对于无限数目的质数来说这个不等式不能成立，斯古士（伦敦数学
学会通报，1933 年）也证明这个不等式对于某个小于
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的数不能成立。我们将看到高斯的推想尽管已经证明是错误的，它却具有甚
至比我们最坚信不移的关于经验界的概括所依靠的要好得多的归纳证据。
我们很容易无限制地得出算术中的错误归纳，而无需过多地涉及数论。
举例来说，小于n 的任何数都不能被n 整除。我们可以使n 任意增大，这样
就为“任何数目都不能被n 整除”这个概括找到尽可能多的有利的归纳证据。
显然任何n 个整数一定具有大多数整数所不具有的许多共同性质。举一
件事情来说，如果m 是其中最大的数，它们就都具有不比m 大这个无限罕见
的性质。所以如果应用到整数上来，无论一般的还是特殊的归纳都不是正确
有效的，除非在它身上应用归纳的那种性质具有某些限制。我不知道怎样说
出这种限制，然而任何一个有能力的数学家关于那种可能得出一个后来证明
正确有效的归纳的性质都具有一种类似常识的觉察力。如果你看到l＋3＝
22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，你就会容易推想到
1＋3＋5＋。。＋（2n—1）＝n2
并且我们可以很容易证明这个想法是正确的。同样，如果你看到13＋23
＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，你就会推想到靠前面的n 个立
方的和永远是一个平方数，而这又是很容易加以证明的。对于这类归纳来讲，
数学的直观并不是永远可靠的，但是有能力的数学家运用直观时对的次数似
乎比错的次数要多。但是我不知道怎样讲明白在这类情况下指导数学直观的
那种东西。另外，我们只能够说还没有任何已知的限制能使应用到自然数上
的归纳有效。
3。归纳作为一个逻辑原理是无效的显然如果我们可以任意选择我们
的类β，我们就可以很容易地确信我们的归纳将要失败。设a1，a2，。。an
为a 中直到现在已经观察过的分子，并已发现它们都是β的分子，另外设an
＋1 为a 的下一个分子。就纯粹逻辑的范围而论，β也许只由a1，a2，。。an
这些项目组成；或者它也许是由把an＋1除外的宇宙中所有事物组成；或者它
也许是由任何介乎这两者之间的任何类组成。就这类情况中无论哪一种情况
来说，推论到an＋1的归纳都是错误的。
显然（反对的人可能说）β必须不是一个也许可以叫作“制造出来的”
类，即一个部分地由外延得到定义的类。在归纳推论中所研究的那类例子中，
β永远是一个通过内包而不是通过外延来知道的类，除了那些被观察到的分
子a1，a2，。。an以及那些不同时是a 的分子而又碰巧可能被观察到的β的
分子。
我们很容易做出显然错误的归纳。一个乡下人可能说会说：所有我曾看
到的牛都在希尔福郡内；所以大概所有的牛都在这个郡内。或者我们可以提
出：所有现在活着的人都没有死去，所以大概所有现在活着的人都不会死。
这类归纳中的谬误是很明显的，但是如果归纳是一个纯粹逻辑的原理，这些
就不是谬误。
因此显然如果要归纳不能证明为伪，β这个类必须具有某些特点，或者
必须与a 这个类具有某种特殊关系。我并不是主张有了这些限制这个原理就
一定为真；我所主张的是没有这些限制这个原理就一定为伪。
4。在经验界的素材中，事例都是按照时间顺序发生的，因而它们永远是
成系列的。当我们研究归纳是否可以在算术中应用的时候，我们自然想到按
照大小排列起来的那些数字。但是如果我们可以任意排列它们，我们就可以
得到奇怪的结果；例如，象我们已经看到的那样，我们可以证明一个任意选
取的数不为质数的可能是无限小的。
在表述特殊归纳时重要的是应当有下一个例，这就要求排成系列。
要让普遍归纳具有说服力，我们就必须知道a 的前n 个分子发现是β的
分子，而不仅知道a 和β具有n 个共同分子。这也要求排成系列。
5。假定我们承认如果要归纳推论正确有效，在a 和β之间就必须有着某
种关系，或者它们当中一个必须有着某个特点，由于这种关系或这个特点它
才正确有效，那么显然这种关系必须是介乎内包之间的——例如介乎“人”
和“有死的”之间或者介乎“反刍动物”和“分蹄的”之间。我们打算推论
出一种外延关系，但是在我们处理经验界中不断发现新的分子的一些已知类
时，我们起初并不知道a 和β的外延。每个人都会承认“狗吠”是一个正确
的归纳；我们预料到一种动物的视觉外形与它做出的声音之间的相互关联。
这种预料当然也是另一种范围更大的归纳的结果，但这并不是目前我所要谈
的问题。我所要谈的是介乎都是内包的一种形状与一种声音之间的相互关连
以及某些内包看来好象比某些其它内包更可能具有归纳上的关系这件事实。
6。这一点是明显的。如果宇宙是有限的，完全的列举在理论上就是可能
的，在完成这项工作之前一般的概率计算表明归纳大概是正确有效的。但是
在实际应用上这种想法并没有什么重要性，这是因为我们能够观察的事物与
宇宙中事物在数量上过分悬殊的缘故。
让我们回到那个一般原理上来，记住我们必须找出某些使它406 可能正
确有效的限制。让我们先看特殊归纳。特殊归纳说，如果我们发现任意选出
的属于a 的n 个分子完全由β的分子组成，那么下一个a 将是一个β就是可
能的；换句话说，大多数剩下的a 是β。这句话本身只需要具有概然性。我
们可以假定a 是一个有限类，比方说包括N 个分子。我们知道其中至少有n
个是β的分子。如果同时为β的分子的a 的分子总数是m，
N！
那么选择个项目的方法总数是n
n！（N …n）！
①13602100_0486_0 ，而选择个为
n
m！
a的项目的方法总数是
n！（m …n）！
。因此一个完全由组成的选择机会是
a
m！（N …n）！
。
N！（m …n）！
如果pm 是m 作为a 和β的共同项目数的先验可能性，那么在经验后出现
的可能性就是
m！（N …n）！
。 N
Pm·
m！（N …n）！
Pm·
N！（m …n）
N！（m …n）！
1
让我们把它叫作qm。
如果a 和β的共同分子数是m，那么取出n 个为β的a 之后，还有m—n
个β和N—m 个非β。所以，根据a 和β有m 个共同分子的假设，我们得出另
一个β的概率。因此总的概率是
N
。qm ·
m …n
N …n
m=n
这个式子的值完全要看pm 的值来定，而pm 的值并没有正确有效的计算
方法。如果我们和拉普拉斯一样，假定m 的每个值具有相同的概率，我们就
得到拉普拉斯的结果，即下一个是β的机会是
nn
＋
＋
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。如果我们先验地假定
a
每个a 为β和不为β是同样可能的，那么我们就得到1/2
的值。即使我们有拉普拉斯的假设，普遍归纳也只有
Nn ＋
＋
11
的概率，通常这是
个较小的值。
因此我们需要某种在m 接近N 时使得pm 为大数的假设。这将必须依靠a
和β两类的性质，如果我们要让它具有正确有效机会的话。
C。归纳的数学处理
从拉普拉斯那时以来，为了证明归纳推论的概然真理来自数学的概率
论，人们曾经做过各种不同的尝试。现在大家认为这些尝试都不成功，并且
认为如果要使归纳论证正确有效，就必须借助于不是属于逻辑学家所可能想
到的在逻辑上可能的各个不同的世界，而是属于现实世界的某种超出逻辑范
围的特点。
这类论证中第一个就是由拉普拉斯提出的。它的正确的纯数学形式有如
下面所说：
有n＋l 个外形相似的口袋，每个口袋里有n 个球。第一个口袋里的球都
是黑球；第二个口袋里有一个白球，其余是黑球；第（r＋1）个口袋里有r
个白球，其余是黑球。我们选择其中一个不知包含什么的口袋，并从中取出
m 个球。结果发现这些球都是白球。那么（a）下一个取出的球是白球，和（b）
我们已经选出其中都是白球的口袋的概率是多少？
m ＋ 1
答案是：（）下一个球为白球的机会是am ＋ 2
；（ ）我们已经选出其中
b
都是白球的口袋的机会是
mn ＋
＋
11
。
根据有限频率说这个正确的结果有一种简单明确的解释。但是拉普拉斯
推论出如果已经发现个为，那么下一个AB ABm ＋1
，而所有的A
m 为的机会是
m ＋1
m ＋1
都为B 的机会是
n ＋1
。他是通过假定给出个我们对之一无所知的客体，其
n
中0，1，2，。。n 个为B 的概率都相等而得出这个结果的。当然这是一个荒
谬的假定。如果我们换用一个荒谬程度稍小的假定，即认为每个客体为B 或
不为B 的机会相等，那么下一个A 为B 的机会仍然是1/2，尽管已经发现许
多A 为B。
即使我们接受他的论证，如果n 比m 大得多的话，普遍归纳仍然不大可
能，虽然特殊归纳可能变得具有很大的概然性。事实上他的论证已经成了只
有历史兴趣的东西。
凯恩斯在他的《概率论》中对于归纳做出了纯粹数学可能做出的最好处
理，并且最后认为归纳是不充分的。他得出下面的结果
设g 是一个概括性命题，x1，x2，。。是有利于这个命题的观察到的实
例，h 是在有关范围内的一般外界条件。
假定x1/h=x2/h=等等。
使pn=g/h x1x2。。xn。
这样pn 就是普遍归纳在有了个有利的实例之后的概率。写出表示g
ng
的否定，p0表示g/h，即这个概括命题的先验概率。
那么Pn =
P ＋ xx 。。
Px0
/ gh（1 …P）
。
12n 0
当n 增加时，它就接近于1 而以1 为极限，如果
x x 2 。。xh
1
P0
接近于0 而以0 为极限的话；如果有着有限量ε和η使得对于所有足够
大的r 来说，
x /xx 。。xh＜1…ε 并且P ＞η，
r 12 r…1 g 0
那么上面那种情况就会发生。wrshǚ。сōm
让我们研究一下这两种情况。第一种情况说有一个小于1 的量1…ε，在
这个概括性命题为伪的情况下，使得在出现一定数目的有利实例之后，出现
下一个有利于这个概括的概率永远小于这个量。让我们看它的一个失败的
例，即“所有的数都不是质数”这个概括。当我们顺着数列看下去时，质数
越来越少，在出现r 个非质数之后下一个数本身为非质数的机会就会增加，
并且在r 保持不变的情况下接近必然性而以它为极限。所以这种情况可能失
败。
但是第二种情况，即g 在归纳开始之前就必须具有一个大于某个有限概
率的概率，却更为困难。一般来说，我们很难看出有什么方法计算这种概率。
对于一个从来没有见过天鹅或听说过天鹅是什么颜色的人来说，“天鹅都是
白色的”具有多大的概率呢？这类问题是既不清楚而又意思含糊的，凯恩斯
也看出这类问题使得他的结论不够令人满意①。
有一个简单的假设可以得出凯恩斯所�