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少？显然是13/52，即1/4。如果你已经抽出一张黑桃，那么你再抽出一张黑
桃的机会是多少？答案是12/51。一次掷出的两个骰子，数目加起来为8 的
机会是多少？骰子有36 个可能出现的给局，其中有5 个数目加起来为8，所
以机会是5/36。
显然就许多简单例子来说，上面的定义所得的结果符合于概然性的习惯
用法。现在让我们擦究一下给予这样定义的概然性是否满足那些公理。
我们现在必须把公理中出现的字母p，q 和h 当作类或命题函项，而不是
命题。我们不说“h 蕴涵p”，而说“p 包含h”；“p 和q”代表p 和q 两类
的共同部分，而“p 或q”则代表由所有属于p 或q 或者同时属于p 与q 两类
的项目所构成的类。
我们的公理是：
I。p/h 只有一个唯一的值。除了在h 为零，因而p/h=％的情况外，这个
公理为真。因此我们假定h 不为零。
II。p/h 的可能值是所有从0 到1 的实数。照我们的解释，它们将仅是有
理数，除非我们能找到一种方法把我们的定义扩展到无限类。这并不是容易
做到的事，因为当除法涉及到的数目是无限数的时候不能得出唯一的结果。
III。如果h 包含于p；那么p/h=1。在这种情况下，h 与p 的共同部分是h，
所以根据我们的定义就可以得出上面的结果。
IV。 如果h 包含于非p；那么p/h＝O。从我们的定义就可以看出这一点，
因为在这种情况下h 与p 的共同部分是零。
V。合取公理。照我们的解释来讲，h 的分子同时为p 和q（的分子所占的
比例数等于h 的分子同时为p 的分子所占的比例数乘以p 与h 的分子同时为
q 的分子所占的比例数。假定h 的分子数为a；同时属于P 和h 的分子数为b，
而同时属于p；q 和h 的分子数为c。那么h 的分子同时为p 和q 的分子所占
的比例数是c/a；h 的分子同时为p 的分子所占的比例数是b/a；而p 和h 的
分子同时为q 的分子所占的比例数是c/b。这样我们的公理就得到了证实，
因为c/a=b/ax c/b。
VI。析取公理。如果保留上面所说的a；b；C；的意义，并让d 为h 的分子
同时为p 或q 或者同时属于p 与q 两类的分子数，而e 为h 的分子同时为q
的分子数，那么照我们现在的解释来讲，这个公理就表示：
d bec
a
=
a
＋
a
…
a； 即d = b ＋ e …c；
这又是很明显的一个结果。
这样，如果h 是一个有分子的有限类，那么这就可以满足我们的公理，
只要不把概率的可能值限为有理分数的话。
由此可以看出数学的概率论照上面的解释来讲是正确的。
可是我们还需要看一下给予这样定义的概率的范围，这种范围初看似乎
过于狭小，不能满足我们对于概率的应用所抱的期望。
首先，我们希望能够说出某个特定事件具有某种特点的机会，而不仅仅
是某一类中某个未经指定的分子所具有的机会。例如：你已经掷出两个骰子，
但是我还不曾看到结果。对我来说，你掷出双六的机会是多少？我们想能够
说出它是1/36，而如果我们的定义不允许我们这样说，它就不能充分满足我
们的要求。在这种情况下，我们说我们把一个事件仅仅当作某一类的一个实
例来看待；153 我们说如果把a 只当作B 类中的一个分子，那么它属于A 类
的机会是A/B。但是“把一个特定事件仅仅当作某一类的一个分子来看”所
表示的意思是不很明确的。这样一种情况所包含的内容是：我们已知一个事
件的某种特点，这种特点凭借比我们所有的更为完备的知识，足以使这个事
件唯一确定下来；但是只凭借我们的知识，我们就没有方法确定它是否属于
A 类，尽管我们确实知道它属于B 类。你在掷出骰子以后知道掷出的结果是
否属于双六这一类，但是我却不知道这一点。我仅有的一点有关的知识是它
是36 个可能的掷出结果之一。或者看一看下面的问题：美国身材最高的人居
住在衣阿华州的机会是多少？有人也许知道他是谁；至少有着一种发现他是
谁的方法。如果使用这种方法成功，那就出现一个不包含概然性在内的确定
答案，即他要么在衣阿华州居住要么不在衣阿华州居住。但是我却没有这种
知识。我可以说衣阿华州的人口为m，而美国人口为n；并且说相对于这些数
据来说，他在衣阿华州居住的概率是M/n。这样当我们说到一个具有某种特
点的特定事件的概率时，我们就总要把借以计算概率的有关数据确定下来。
我们可以概括他讲：已知任何一个物体a，并且已知a 是B 类的一个分
子；我们说凭借这个数据，按照上面所说的概率的定义，a 是A 类的一个分子
的概率是A/B。这个概念是有用的，因为我们常常充分知道某个物体，使得
我们可以唯一确定地给它下出定义，而无需知道它是否具有这种或那种属
性。“美国身材最高的人”是一个确定的描述，这个描述适用于一个并且只
适用于一个人，但是我并不知道他是什么人，因而他是否居住在衣阿华州对
我来说仍然是个未决的问题。“我要抽出的一张牌”是一个确定的描述，并
且我立刻就会知道这个描述是否适用于一张红牌或是一张黑牌，但是现在我
还不知道。正是这种很常见的关于特定物体的部分无知的情况使得在特定的
物体身上应用概率成了有用的东西，而不仅是应用到类中完全没有确定的分
子身上。
虽然部分无知是使上面的概率形式有用的原因，概率这个概354 念却不
包含什么无知，这个概念对于全知来说仍然具有和对于我们来说同样的意
义。全知会知道a 是否为一个A，但是全知仍然可以说：凭借a 是一个B 这
个数据，a 是一个A 的概率是A/B。
在把我们的定义应用到特定的实例时，在某些情况下存在着一种可能发
生的意义上的含混。为了弄清楚这一点，我们必须使用性质而不是类的说法。
设A 类由性质φ确定，而B 类由性质ψ确定。接着我们说：
a 在已知它具有性质φ的条件下具有性质ψ的概率被定义为同时具有性
质φ和ψ的事物对于具有性质ψ的事物之比。我们用“φa”来表示“a 具有
性质φ”。但是如果a 在“φa”内出现不止一次，那就会出现一种意义上的
含混。举例说，假定“φa”是“a 自杀了”，即“a 杀死a。这是“x 杀死x”
的一个值，而“x 杀死x”是由自杀组成的类；也是“a 杀死x”的一个值，
而“a 杀死x”是a 杀死的人组成的类；也是“x 杀死a”的一个值，而“x
杀死a”是杀死a 的人组成的类。这样在给φa 的概率下定义时，如果“a”
在“φa”中出现不止一次，我们就必须指出它的哪些次出现可以当作一个变
量的值和它的哪些次出现不可以当作一个变量的值。
我们将发现我们能够按照上面的定义来解释所有的基本定理。
让我们拿拉普拉斯自命的归纳证明为例来看：
有N＋1 个口袋，每个口袋中有N 个球。
在这些口袋中，第r＋l 个口袋中有r 个白球和N…r 个黑球。我们已经从
一个口袋中拿出n 个球，而这些球全是白球。
那么：
（a）我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会是多少？
（b）下一个球是白球的机会是多少？
拉普拉斯说（a）是（n 十1）/（N＋1）而（b）是（n＋1）/（n＋2）。
让我们用一些数字实例来说明。首先：假定一共有8 个球，其中已经取
出4 个球，而这4 个球全是白球。那么（a）我们已经挑中只有白球的口袋的
机会和（b）下一次取出的球是白球的机会各是多少？
设Pr 代表我们已经挑中有r 个白球的口袋这个假设。数据把P0，P1，P2，
P3 排除在外。如果我们有P4，那么我们只有一种方法可以已经拿出4 个白球
来，剩下4 种拿出一个黑球的方法，但却没有一种拿出一个白球的方法。如
果我们有P5，那么我们有5 种方法可以已经拿出4 个白球，并且对于其中每
一种方法来说都有一种拿出另一个白球和三种拿出一个黑球的方法；这样从
P5 我们就得出5 个下一个球是白球和15 个下一个球是黑球的实例。如果我们
有P6，那么就有15 种挑出4 个白球的方法，并且在挑出它们之后还剩下两
种挑出一个白球和两种挑出一个黑球的方法；这样我们从P6，就得出30 个
挑出另一个白球和30 个下一个球是黑球的实例。如果我们有P7，那么就有
35 种拿出4 个白球的方法，并且在拿出它们之后还剩下3 种拿出一个白球和
一种拿出一个黑球的方法；这样我们就有105 种拿出另一个白球和35 种拿出
一个黑球的方法。如果我们有P8，那么就有70 种拿出4 个白球的方法，并
且在拿出它们之后还有4 种拿出另一个白球但却没有一种拿出一个黑球的方
法；这样我们从P8 得到280 个第5 个白球和没有黑球的实例。加在一起，我
们就有5＋30＋105＋280 即420 个第五个球是白球和4＋15＋30＋35 即84
个第五个球是黑球的实例。所以白球所占的优势是420 比84，即5 比1；这
就是说，第五个球是白球的机会是5/6。
我们已经挑中都是白球的口袋的机会，是从这个口袋挑出4 个白球的方
法数除以挑出4 个白球的方法的总数所得的比值。我们已经看到前一个数是
70；后一个数是l＋5＋15＋35＋70，即126。所以机会是70/126，即5/9。
这两种结果都和拉普拉斯的公式相符合。
让我们再举一个数字的例：假定有10 个球，已经拿出其中5 个并且发现
都是白球。那么P10即我们挑中只有白球的口袋的机会是多少？下一个球是白
球的机会又是多少？。。
Pr 可能有的方法数； 在pr 的条件下，挑中另一个白
球的方法数，
挑中一个黑球
的方法数
p5 1 ； 在p5 的条件下，0 5
p6 6 ； 在p6 的条件下，1 4
p7 21 ； 在p7 的条件下，2 3
p8 56 ； 在p8 的条件下，3 2
p9 126 ； 在p9 的条件下，4 1
p10 252 ； 在p10 的条件下，5 0
这样
P10 的机会就是252/（l＋6＋21 ＋56＋ 126＋252），即252/462，亦即
6/11。
下一个球是白球的方法有
6＋21×2＋56×3＋126×4＋252×5，即1980 个，
而下一个球是黑球的方法有
5＋4×6＋3×21＋2×56＋126，即330 个。
所以白球所占的优势是1980 比330 即6 比1，因而挑出另一个白球的机
会是6/7。这又和拉普拉斯的公式相符合。
现在让我们看一看伯诺利的大数定律。我们可以具体说明如下：假定我
们抛掷n 次钱币，每出一次正面写上1，每出一次反面写上2，这样就形成许
多n 位数。我们将假定每个可能的序列只出现一次。这样如果n＝2，我们就
有4 个数，11，12，21，22；如果n＝3，我们就有8 个数，111，112，121，122，211，212，221，222；如果n=4，我们就有16 个数，1111，1112，1121，1122，1211，1212，1221，1222，2111，2112，2122，2211，2212，2221，。。
2222；以此类推。就上面表中最后一项来看，我们看出四位都是1 的有1 个
数，
三位是1 和一位是2 的有4